Coronavirus: dal modello matematico un messaggio di speranza

Per capire a fondo l'evoluzione dell'epidemia in corso, è necessario costruire e studiare modelli matematici che ne rappresentino il comportamento nella popolazione. Il modello che proponiamo viene letto alla luce dei dati aggiornati della Protezione Civile.

Il Coronavirus è diventato ormai un problema su scala mondiale, e il Paese più colpito attualmente è proprio l’Italia. È difficile definire e studiare in maniera approfondita una malattia nuova, sia dal punto sanitario, sia da quello statistico-descrittivo. Spesso sentiamo parlare in televisione di contagiosità e di picco dell’epidemia.

Cosa significano questi due termini e perché sono così importanti?

I modelli matematici per la diffusione delle epidemie

Esiste un’intera branca della matematica che si occupa di definire modelli che rappresentino nella maniera più fedele possibile l’evoluzione di una data malattia. Il modello più usato è il cosiddetto SIR, acronimo che spieghiamo qui di seguito:

  • “S” (susceptible, suscettibili) indica tutti gli individui di una popolazione che non sono immuni al virus;
  • “I” (infectious, infetti) indica il numero delle persone attualmente infette;
  • “R” (removed/recovered; rimossi/guariti), a seconda che la malattia sia mortale o no. Nel caso del Covid-19, virus che può portare alla morte, “R” indicherà il numero di persone che guariscono (e che quindi non potranno più essere contagiate poiché immuni) e i morti.

L’evoluzione di queste tre variabili si determina tramite equazioni differenziali ordinarie, ovvero si lega tramite una relazione matematica la variazione di S, I ed R alle variabili stesse. Per fare ciò, è necessario introdurre il tasso di contagio o contagiosità, che in epidemiologia viene indicato in genere con R_0, e il tasso di rimozione (o guarigione) \gamma. Una volta ottenuti questi parametri, il modello è:

    \[ \begin{split} S_{k+1} & = -R_0 S_{k} I_{k} \\ I_{k+1} & = R_0 S_{k} I_{k} - \gamma I_{k} \\ R_{k+1} & = \gamma I_{k} \end{split} \]

dove k indica il tempo (giorni). Le tipiche evoluzioni sono riportate in questo grafico:

Evoluzioni modello SIR: in rosso i suscettibili, in verde i rimossi (morti e guariti), in blu gli infetti. Time: tempo espresso in giorni. Population: numero di individui espresso in percentuale.

 

L’importanza del tasso di contagiosità

Ciò che definisce l’evoluzione delle curve sono il tasso di contagiosità R_0 e il tasso di guarigione \gamma. Nell’ambito di un’epidemia reale, come il Covid-19, si può intervenire maggiormente su R_0 e meno profondamente su \gamma. Per il Covid-19, R_0 si stima intorno a 2,5.

Cosa significa? Essenzialmente un infetto contagia in media 2,5 persone. È fondamentale abbassare tale valore, ed è a questo che mirano le misure di contenimento adottate dal Governo, dietro consiglio della comunità scientifica. Quando non c’è contatto tra le persone, R_0 diminuisce, e quando arriva al di sotto dell’unità, una persona positiva non riesce a contagiare in media neanche un individuo: in altre parole, l’epidemia si sta fermando.

Quando ci sarà il picco?

Dal grafico si può notare il classico andamento a “campana” della curva blu. Questo andamento indica che il numero degli infetti prima cresce esponenzialmente, poi flette e raggiunge il cosiddetto picco, per poi decrescere fino ad annullarsi. Se si conoscessero a priori con assoluta precisione i tassi che tanto influenzano il modello SIR, potremmo già dire quando avverrà il picco in Italia. Tuttavia, non possono esistere valori certi per R_0 e \gamma, poiché dipendono da una molteplicità di fattori sociali (quanta gente rispetta l’obbligo di restare a casa, ad esempio, o quanti sanitari si contagiano prestando le cure agli ammalati).

Nonostante questo, possiamo trarre conclusioni dai dati reali della diffusione della malattia, forniti ogni giorno dalla Protezione Civile e validati dall’Istituto Superiore di Sanità.

Dati ufficiali Covid-19 Italia. Fonte: Dipartimento della Protezione Civile.

Focalizzando l’attenzione sulla curva arancione degli infetti (attualmente positivi), possiamo apprezzare un cambiamento negli ultimi due giorni: la curva, infatti, ha raggiunto il punto di flesso, cambiando convessità. In termini numerici, significa che la crescita non è più esponenziale e il numero di nuove positività sta lentamente diminuendo: da due giorni, appunto. Tuttavia, è ancora difficile dire con precisione quando ci sarà il picco, ma certo è che non è molto lontano: nella peggiore delle ipotesi, dovremo aspettare ancora una settimana.

Andrea Wrona

Ingegnere informatico, Control Engineering - Università Sapienza di Roma
andrea1wrona@gmail.com

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